如何用矩阵描写坐标系的变换？《张朝阳的物理课》讲解矢量与度规的矩阵表示

矢量与度规如何用矩阵表示？如何用矩阵描写坐标系的变换？7月8日中午12时，《张朝阳的物理课》第六十九期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间。他先介绍了一些线性代数的基础概念，用矩阵的方法表示矢量的长度，并引出度规的概念；接着求出旋转操作对应的矩阵，并验证了直角坐标系的度规在该操作下保持不变；而随后他又证明直角坐标系变换到非直角坐标系时，度规会发生变化。最后，根据光速不变导出四维时空的不变量，并写出了对应的四维度规。

2维空间中可以用基矢量乘以对应的系数并求和来表示一个矢量，另外还可以将其中的系数写成2×1的矩阵形式来表示矢量，称为列向量。列向量的转置是一个1×2的矩阵，即行向量 。矢量的乘积可以写成矩阵乘法的形式，其中会出现称为度规η的矩阵，它可以用来度量矢量的长度。一个矢量的矩阵表达是与坐标基矢的选择密切相关的。若坐标系发生改变，矢量的矩阵表达也会发生变化，由于矢量的长度与坐标系无关，由此还可以导出度规的变化。

在介绍完一些基本线性代数知识后，张朝阳以坐标系绕原点转动的情况为例，验证直角坐标系下度规恒为单位矩阵。先根据长度不变的性质，将原坐标与转动后的新坐标用极坐标表示出来，然后联立解得新坐标与原坐标的关系式，写成矩阵的形式得到变换矩阵。通过变换矩阵以及矩阵的乘法即可验证在新坐标系下的度规仍然为单位矩阵。

随后张朝阳开始分析非直角变换，用简单的几何方法，将原本的直角坐标系的坐标表示成了非直角坐标系的坐标，得到了变换矩阵的逆，并通过矩阵的乘法，求得了非直角坐标系的度规的矩阵表示，发现它并不是单位矩阵。但通过具体计算矢量长度的平方，此非单位矩阵的度规确实可以在非直角坐标系下给出正确的矢量长度。

接着张朝阳复习了迈克尔逊莫雷实验以及其“以太”不存在的结论，指出光速不变性必须要求时间与空间不是独立的，在新的时空观下，空间的长度会随时间而变，所以需要重新寻找一个不随参考系变换的不变量来代替空间长度。他通过光速不变性发现-(ct)^2+x^2+y^2+z^2=0是个不变量，将其定义为四维时空的“长度”。

类似前面关于2维空间的讨论，这里四维时空也可以用矩阵的形式来描写。四维矢量用列向量表示，而通过长度的定义又可以求得度规的矩阵表示，发现四维度规是个对角矩阵，但与时间相关的那个对角元是-1，其三个与空间相关的对角元是1。若要求坐标变换不改变度规，那么可以求得该坐标变换为洛伦兹变换。

截至目前，《张朝阳的物理课》已直播六十多期，从去年11月开启第一节物理直播课，他先是从经典物理学开始，科普了牛顿运动定律等；而后从经典物理的“两朵乌云”说起，向近现代物理过渡，探讨了黑体辐射理论中的维恩公式、普朗克公式等知识。此后逐步进入量子力学领域，从基础的薛定谔方程等理论内容，到氢原子波函数，再到气体定容比热的温度阶梯等更加具体实用的案例。内容丰富、覆盖广泛，理论公式由浅入深、繁简交融。

《张朝阳的物理课》的直播风格独树一帜：注重硬核推导，通过一步一步详尽的数学计算，推导出相关的物理公式，把每个公式从头到尾拆解得十分清晰。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

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